Comment factoriser

Est-ce que la vue d'un nombre ou d'une expression accompagnée des instructions «Factorisez complètement» vous fait peur? Souhaitez-vous prêté attention à l'algèbre? Eh bien, cet instructable vous apprendra à factoriser n'importe quel nombre ou expression éligible telle que Ax ^ 2 + Bx + C.

Étape 1: Factorisation des nombres

Tout d'abord, qu'est-ce qu'un facteur?

Les "facteurs naturels" sont l'ensemble complet des nombres entiers, où si vous multipliez un nombre dans l'ensemble par un autre dans l'ensemble, vous obtenez le nombre que vous factorisez.

Par exemple, le nombre 5 a deux facteurs: 1 et 5. Le nombre 6 a quatre facteurs: 1, 2, 3 et 6.

Les "facteurs entiers" incluent les nombres négatifs.

Le nombre 5 dans ce cas aurait quatre facteurs: -5, -1, 1 et 5. 6 aurait huit facteurs: -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3 et 6.

(Les nombres naturels sont des nombres sans fractions, à partir de 1, 2, 3, 4, 5 ... jusqu'à l'infini. Les nombres entiers sont des nombres naturels, ainsi que leurs homologues négatifs et 0, ou ...- 5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...)

La factorisation des nombres avec l'ensemble de nombres naturels est simple. Chaque nombre a au moins deux facteurs. Pour trouver d'autres facteurs, commencez à diviser le nombre à partir de deux et à progresser jusqu'à ce que vous atteigniez ce nombre divisé par 2. Tout quotient qui n'a pas de reste signifie que le diviseur et le quotient sont tous les deux des facteurs de ce nombre.

Imaginons que vous ayez à diviser le nombre par 9. Vous ne pouvez pas diviser par deux de façon égale, alors nous le sautons. (Notez la solution, 4.5, afin que vous sachiez quand vous arrêter plus tard.) 9 est divisible par 3, alors ajoutez 3 à votre liste de facteurs. Montez jusqu'à ce que vous divisiez par 5 (9 divisé par 2, arrondi). Vous vous retrouverez avec 1, 3 et 9 comme liste de facteurs.

Lors de la factorisation des nombres dans l'ensemble entier, vous pouvez simplement ajouter l'équivalent négatif de vos solutions de la factorisation des nombres naturels. Ainsi, 9 aurait des facteurs de -9, -3, -1, 1, 3 et 9.

L'affacturage des nombres négatifs ne peut se faire qu'avec l'affacturage entier. La solution est la même que celle que vous obtenez en tenant compte de la version positive du nombre. -9 a des facteurs de -9, -3, -1, 1, 3 et 9.

Zéro est le seul entier qui a une quantité infinie de facteurs, et est le seul qui a zéro comme facteur.

Étape 2: factorisation du GCF à partir d'une expression

Et non, je ne veux pas dire en tenant compte de l'expression de votre patron lorsque vous lui dites que vous avez accidentellement inondé la salle de pause de café.

Les expressions algébriques se composent de nombres, appelés coefficients, et de variables, qui peuvent être élevés à une puissance. Dans l'expression x ^ 2 + 6x + 8, 1 est le coefficient de x ^ 2, la variable. (Si vous ne voyez pas de coefficient avant une variable, c'est un 1, car x ^ 2 est multiplié par 1.) De même, 6 est un coefficient de x ^ 1. (Une variable isolée est élevée à une puissance de un.) 8 est appelé une constante - il n'est pas multiplié par une variable. (Vous pouvez le visualiser multiplié par x ^ 0, et tout nombre élevé à la puissance 0 est égal à 1).

Pour factoriser une expression, vous devez commencer par factoriser le GCF, ou le plus grand facteur commun. Énumérez les facteurs de chaque composante de l'expression. Ici, nous sommes intéressés à trouver les facteurs naturels.

L'expression x ^ 2 + 6x + 8 aurait des facteurs qui ressemblent à ceci:

x ^ 2: 1
6x: 1, 2, 3, 6
8: 1, 2, 4, 8

Si vous regardez les trois listes, il n'y a qu'une seule chose qu'elles partagent toutes, la première. Cela signifie qu'il n'y a pas de coefficient supérieur à un à prendre en compte.

Ensuite, vous regardez les pouvoirs des exposants. 2, 1 et 0. Si vous voyez un zéro, l'expression ne peut pas être factorisée par une variable.

Cette expression est prête pour l'étape suivante.

Voici un exemple qui a un GCF qui doit être factorisé: 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 10x. Factorisez chaque partie:

2x ^ 3: 1, 2
18x ^ 2: 1, 2, 3, 6, 9, 18
10x: 1, 2, 5, 10

Ici, nous pouvons voir que les pièces ont 1 et 2 en commun. Nous trouvons le plus grand nombre, 2.

Ensuite, nous examinons les puissances des exposants: 3, 2 et 1. Trouvez le plus petit nombre qui n'est pas 0, dans ce cas le numéro un. Cela signifie que x ^ 1, ou simplement x, peut être divisé en expression.

Multipliez le nombre et la variable pour obtenir 2x. Divisez ensuite chaque partie de l'expression par 2x.

2x ^ 3 / 2x = x ^ 2
18x ^ 2 / 2x = 9x
10x / 2x = 5

L'expression avec le GCF factorisé est 2x (x ^ 2 + 9x + 5). Notez que vous devez mettre l'expression factorisée entre parenthèses et écrire le GCF à côté.

Étape 3: Factorisation des binômes

Les binômes sont des expressions avec seulement deux termes ajoutés.

2x ^ 2 - 4x est un exemple de binôme. (Vous pouvez dire qu'un 4x négatif est ajouté à 2x2.)

Tout d'abord, factorisez le GCF, 2x. Vous vous retrouvez avec 2x (x - 2). C'est aussi loin que ce binôme peut aller. Tout binôme sous la forme 1x +/- n ne peut pas être factorisé davantage.



Lorsque vous avez un binôme qui est une variable avec un exposant pair, ajouté à un nombre négatif qui a une racine carrée qui est un nombre naturel, cela s'appelle un carré parfait.

x ^ 2 - 4 en est un exemple. Elle peut être exprimée comme le produit de la racine carrée de la variable plus la racine carrée de la constante positive et la racine carrée de la variable moins la racine carrée de la constante positive.

Hein?

Fondamentalement, prenez la racine carrée de la variable. Vous vous retrouverez avec x. Racine carrée puis le 4. Vous vous retrouverez avec 2. Si vous les ajoutez ensemble, vous obtiendrez x + 2. Soustrayez-les et vous obtiendrez x-2. Multipliez les deux et vous obtiendrez (x + 4) (x-4). Vous venez de factoriser un carré parfait.

Si vous multipliez (x + 2) (x-2) ensemble à l'aide de FOIL, vous vous retrouvez avec x ^ 2-4.

(FOIL: First Outer Inner Last, une façon de multiplier deux binômes ensemble. Multipliez les premiers termes des binômes (x et x dans ce cas), puis les deux extérieurs (x et -2), puis les deux intérieurs (2 et x), puis les derniers termes (2 et -2), puis additionnez-les tous. x ^ 2 - 2x + 2x - 4 = x ^ 2 - 4.)

Cela peut être fait à nouveau si l'un des binômes est un carré parfait, comme dans cet exemple:

x ^ 4 - 16 = (x ^ 2 + 4) (x ^ 2 - 4) = (x ^ 2 + 4) (x + 2) (x - 2).

Cela peut être pris en compte davantage si vous introduisez des nombres irrationnels, voir l'étape [9].



Comment factoriser les binômes sous la forme de (x ^ 3 + b ^ 3):

Branchez simplement sur (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2). Par exemple, (x ^ 3 + 8) = (x - 2) (x ^ 2 + 2x + 4).

Comment factoriser les binômes sous la forme de (x ^ 3 - b ^ 3):

Brancher sur (a + b) (a ^ 2 - ab + b2). Notez que les deux premiers signes de l'expression sont commutés.

(x ^ 3 - 8) = (x + 2) (x ^ 2 - 2x + 4).

Les deux exemples peuvent être pris en compte une fois que vous avez appris à factoriser les trinômes à l'étape [4].

Étape 4: Factorisation des trinômes

Trinomiaux: expression avec trois termes additionnés. 2x ^ 2 + 6x - 8 sera notre chanceux démonstrateur.

Tout d'abord, factorisez le GCF. Ce sera TOUJOURS votre première étape lors de la factorisation de N'IMPORTE QUELLE expression.

2 (x ^ 2 + 3x - 4)

Si vous vous retrouvez avec une puissance de x supérieure à deux après avoir éliminé le GCF, passez à une autre étape.

Énumérez les facteurs entiers de la constante. Vous aurez besoin de deux paires comme suit:

-4, 1
-2, 2
-1, 4

Vous voulez en trouver un qui, lorsqu'il est additionné, est égal au coefficient du deuxième terme, 3. -1 + 4 = 3. À partir d'ici, écrivez deux ensembles de parenthèses avec des x à l'intérieur:

(x) (x)

Collez ensuite les deux termes qui ont fonctionné entre parenthèses.

(x - 1) (x + 4)

N'oubliez pas de rajouter le GCF.

2 (x - 1) (x + 4)

Voilà comment vous factorisez un trinôme.

En voici un autre: 2x ^ 2 + 11x - 6.

Il y a une torsion cette fois: le coefficient de x ^ 2 n'est pas 1. Cela signifie que nous allons ajouter une autre étape:

Énumérez les facteurs de la constante, -6, ainsi que le coefficient de x2, 2.

-6, 1
-3, 2
-2, 3
-1, 6

1, 2

Maintenant, vous voudrez multiplier chacun des facteurs sur le côté gauche par 1, et sur la droite par 2. Répétez en changeant les 1 et 2. Vous vous retrouverez avec

-6, 2
-3, 4
-2, 6
-1, 12
-12, 1
-6, 2
-4, 3
-2, 6

Trouvez la paire qui s'additionne au coefficient du moyen terme, dans ce cas, -1 + 12 = 11. Configurez les parenthèses:

(x) (x)

Conservez les chiffres originaux (que vous aviez avant de multiplier par 1 et 2):

(x - 1) (x + 6)

Collez ensuite les un et deux comme coefficients de x de sorte que lorsque vous multipliez les termes extérieur et intérieur et que vous les additionnez, vous obtiendrez 11.

(2x - 1) (x + 6)

Si vous vérifiez votre travail en le repoussant, vous vous retrouverez avec 2x ^ 2 + 11x - 6, l'expression avec laquelle vous avez commencé. Félicitations!

Étape 5: Factorisation des trinômes par substitution

9x ^ 4 + 45x ^ 2 + 14.

Ne pensez-vous pas que cette expression serait plus facile à factoriser avec des nombres plus petits et des puissances variables?

Vous pouvez remplacer un nombre inférieur et une puissance variable comme ceci:

Set n = 3x ^ 2 (le GCF des puissances variables et la racine carrée du GCF des coefficients de nombres multipliés par une puissance de x). Remplacez-le ensuite en divisant les termes de l'expression originale par n.

n ^ 2 + 15n + 14.

Vous pouvez désormais facilement factoriser.

(n + 14) (n + 1).

Collez les 3x ^ 2 dans l'expression où se trouvent les n.

(3x ^ 2 + 14) (3x ^ 2 + 1).

Étape 6: L'équation quadratique

Si aucune des combinaisons que vous obtenez (à partir de l'étape 4) ne s'additionne correctement, vous devrez utiliser l'équation quadratique.

(-b +/- sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / 2a

(sqrt (#) = racine carrée de #)

Où un trinôme a la forme ax ^ 2 + bx + c.

Donc, si vous souhaitez utiliser la formule quadratique avec 1x ^ 2 + 3x + 2, vous devez vous connecter comme suit:

(-3 +/- sqrt (3 ^ 2 - 4 (-2) (1)) / 2.

Cela simplifie jusqu'à (-3 +/- sqrt 17) / 2. Les facteurs de 1x ^ 2 + 3x + 2 seraient (x - ((-3 + sqrt 17) / 2)) (x - ((-3 - sqrt 17) / 2)). (Vous collez la réponse à droite d'un "x -". Pour en savoir plus sur la raison pour laquelle cela fonctionne, à l'étape [8].)

Étape 7: Factorisation des polynômes par regroupement

Parfois, vous obtiendrez quatre termes ou plus, qui ressemblent à ceci:

2x ^ 2 + 6x ^ 3 + 5x ^ 7 + 15x ^ 8

Il n'y a pas de coefficient commun et la factorisation de x ^ 2 n'aide pas beaucoup. C'est là que vous utiliseriez le regroupement pour factoriser.

Le regroupement signifie la suppression du GCF de seulement deux termes de l'expression. Vous pouvez voir que 2x ^ 2 + 6x ^ 3 et 5x ^ 7 + 15x ^ 8 peuvent tous les deux avoir un GCF retiré. Faites-le.

2x ^ 2 (1 + 3x) + 5x ^ 7 (1 + 3x)

Notez qu'il existe un facteur commun, 1 + 3x. Cette expression peut être reformulée en (2x ^ 2 + 5x ^ 7) (1 + 3x). Voilà votre réponse.

Notez que (2x ^ 2 + 5x ^ 7) (1 + 3x) peut être factorisé davantage en factorisant un x ^ 2 du premier binôme: x ^ 2 (2 + 5x ^ 5) (1 + 3x).

Étape 8: Factorisation des polynômes par division synthétique

Parfois, vous obtiendrez des polynômes bestiaux qui semblent n'avoir aucun espoir.

3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2 en est un exemple. Vous ne pouvez pas utiliser le regroupement pour factoriser un GCF d'une manière qui produirait un facteur commun.

Afin d'expliquer comment cela fonctionne, vous devez savoir que lors de la résolution d'une équation par factorisation, vous devez définir la chose factorisée à 0 et découvrir ce que X est égal à zéro. Par exemple, 0 = (x - 2) (x + 1). Les solutions sont 2 et -1.

Si un polynôme a des coefficients entiers, chaque zéro ou solution a la forme P / Q, où P = un facteur du terme constant et Q = un facteur du coefficient principal.

Fondamentalement, si vous répertoriez tous les facteurs de la constante et les divisez par les facteurs du coefficient dominant (le coefficient à côté de la variable avec la puissance la plus élevée) dans chaque combinaison, vous obtiendrez une liste de solutions rationnelles possibles. Comment cela vous aide-t-il à prendre en compte? Si vous obtenez 2 comme solution, vous pouvez travailler en arrière et dire que l'un des facteurs de l'équation était (x - 2).

Revenons donc à l'exemple:

Facteurs de 2: +/- 1, +/- 2 (vous devez inclure les négatifs)
Facteurs de 3: +/- 1, +/- 3

P / Q: +/- 1, +/- 1/3, +/- 2, +/- 2/3

Une fois que vous aurez votre liste, vous utiliserez quelque chose appelé division synthétique pour voir lesquelles de ces P / Q sont réellement des solutions.

La division synthétique est une façon de diviser des polynômes par un binôme de la forme xk. Je ne vais pas expliquer comment cela fonctionne, mais simplement montrer comment l'utiliser pour l'affacturage.

Tout d'abord, mettez l'un de vos P / Q dans une petite boîte ou un ensemble de parenthèses, puis listez les coefficients et la constante dans une rangée à côté. Si le polynôme saute une puissance (x ^ 2 + 2), vous devez ajouter un 0 pour l'endroit où x1 aurait dû être.

(Expression: 3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2)

(Ignorez les astérisques, ils sont utilisés comme espaces réservés. Mieux encore, voir la première image.)

(1) 3 8 -9 2



Laissez un espace vide, tracez une ligne, puis déposez le premier terme, 3, vers le bas.

(1) 3 8 -9 2


*** 3

Ensuite, multipliez-le par le nombre dans la case et mettez-le sous le terme suivant.

(1) 3 8 -9 2
****** 3

*** 3

Ajouter 8 + 3

(1) 3 8 -9 2
****** 3

*** 3 11

Multiplier.

(1) 3 8 -9 2
****** 3 11

*** 3 11

Ajouter.

(1) 3 8 -9 2
****** 3 11

*** 3 11 2

Multiplier.

(1) 3 8 -9 2
****** 3 11 2

*** 3 11 2

Ajouter.

(1) 3 8 -9 2
****** 3 11 2

*** 3 11 2 4

Cette chaîne de nombres, 3, 11, 2, 4, vous donne une expression avec un degré de moins (si l'exposant le plus élevé dans l'expression d'origine est 3, l'exposant le plus élevé dans le quotient sera un 2) ainsi qu'un reste.

(Expression originale: 3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2)

Quotient: 3x ^ 2 + 11x + 2 Reste 4

Si vous obtenez un reste, le nombre dans la case que vous avez essayé n'est pas une solution pour l'équation. Biffez ce numéro de votre liste et réessayez avec un autre numéro. C'est à peu près deviner et vérifier.

Finalement, vous essaierez 1/3 et vous constaterez qu'il se divise proprement. Vous vous retrouverez avec:

(x - 1/3) (3x ^ 2 + 9x - 6).

Maintenant que vous avez un trinôme de puissance deux, vous pouvez revenir en arrière et le factoriser. N'oubliez pas de retirer le GCF en premier! Vous vous retrouvez avec (x - 1/3) (3) (1x ^ 2 + 3x + 2). Factorisez le trinôme via l'équation quadratique (cette équation a été utilisée comme exemple à l'étape [6], donc référez-vous si vous en avez besoin). Vous vous retrouverez avec (3) (x - 1/3) (x - ((-3 + sqrt 17) / 2)) (x - ((-3 - sqrt 17) / 2)). Très moche, mais c'est comme ça que tu fais.

Étape 9: Factoriser davantage: les irrationnels et les imaginaires

Le nombre de binômes sans qu'une racine parfaite ne soit soustraite d'une variable au carré comme (x ^ 2 - 2) peut être factorisé davantage en utilisant des racines carrées. (x + sqrt (2)) (x - sqrt (2)). Cela apporte l'ensemble irrationnel de nombres.

Les binômes avec un nombre ajouté à une variable au carré comme (x ^ 2 + 1) peuvent être factorisés davantage en utilisant des nombres imaginaires. "i" représente la racine carrée du négatif. Donc (x ^ 2 + 1) peut être factorisé en (x + i) (x - i). Cela apporte l'ensemble imaginaire de nombres.

Étape 10: Huzzah!

Vous savez maintenant comment factoriser n'importe quel nombre ou expression que vous rencontrerez probablement. Bien pour vous!

Il existe également des programmes qui peuvent le faire pour vous. Si vous google "polyroot" vous obtiendrez des liens vers quelques programmes pour votre ordinateur. Les calculatrices graphiques HP 39 / 40gs ont la fonction polyroot intégrée. Si vous avez une calculatrice graphique TI-89, elle a également une fonction d'affacturage. Les modèles de calculateurs graphiques TI antérieurs ne l'ont pas intégré, mais ils ont des programmes d'affacturage. Google "ti quadratic solver" pour les programmes que vous pouvez transférer sur votre calculatrice graphique TI.

Vous pouvez également trouver de vraies solutions aux équations quadratiques en les représentant graphiquement et en utilisant la fonction «zéro» pour calculer où le graphique coupe l'axe des x. Vous pouvez ensuite coller ce numéro à côté d'un "x -".

Avis de non-responsabilité: la plupart des cours de mathématiques interdisent les calculatrices qui peuvent prendre en compte ou vous effacent la mémoire (ainsi que les programmes) des calculatrices programmables. De plus, si des solutions ont une racine non naturelle, vous obtiendrez une longue chaîne de décimales qui ne convient pas comme réponse. Apprenez simplement à le faire à la main.

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