Calcul de feuille de calcul: dérivés et intégrales

Le calcul peut être assez délicat lorsque vous l'apprenez pour la première fois. Voici comment vous pouvez utiliser les tableurs à votre avantage. Utilisez-le pour vérifier vos réponses ou simplement avoir une idée de l'apparence d'un graphique. Si vous faites de l'intégration, vous savez probablement aussi qu'il existe des fonctions qui n'ont pas d'antidérivations élémentaires. Vous pouvez utiliser des feuilles de calcul pour visualiser à quoi ressemblent les anti-dérivatifs de ces fonctions.

Juste une note rapide: tout au long de cet instructable, je me réfère à moi-même comme nous. Ce n'est pas le nous royal, je fais ce projet avec un groupe de 3 autres personnes pour une classe à UBC, donc quand je dis nous je veux dire nous, mon groupe.

Étape 1: définissez vos valeurs X

La première chose dont vous aurez besoin est un tableur comme Excel, Numbers ou OpenOffice. Si vous ne savez pas comment utiliser l'un de ces programmes, ne vous inquiétez pas, c'est assez facile à apprendre.
Pour démontrer, nous allons utiliser l'équation y = 2x3 + 6x2-12x + 4. C'est la même équation montrée dans l'image ci-dessous, qui semble beaucoup plus agréable. Nous avons choisi cette équation car il sera facile de trouver son dérivé et son antérivative, nous pouvons donc vérifier notre réponse.
Tout d'abord, vous voulez mettre vos valeurs x dans votre feuille de calcul, j'ai fait passer le mien de -5 à 5. Définissez également la taille de votre pas, j'ai défini le mien à 0, 1. Vous pouvez également utiliser 0, 01 (ce serait un peu plus précis) mais vous ne voulez généralement pas aller plus petit. Une fois que vos colonnes font plus de quelques milliers de cellules, il faut une éternité à votre ordinateur pour les traiter toutes en même temps. Pour mon ordinateur, moins de 1000 cellules fonctionnent généralement bien.
Mettez votre taille de pas dans une cellule (j'utilise A2). Mettez votre valeur initiale en haut de la colonne suivante, la deuxième image ci-dessous vous montre à quoi cela devrait ressembler. Ensuite, dans la cellule ci-dessous (B2), tapez "= B1 + $ A $ 2" sans les guillemets, appuyez sur Entrée. Les signes dollar indiquent à votre tableur de référencer A2 quelle que soit la cellule dans laquelle vous copiez l'équation. Placez votre curseur sur le coin inférieur droit de la cellule, il devrait y avoir un petit carré noir, cliquez dessus et faites-le glisser vers le bas, comme vous le faites glisser, vous devriez voir les chiffres grossir lentement. C'est difficile à décrire, regardez la troisième photo. Faites glisser cette case vers le bas jusqu'à atteindre l'autre extrémité de votre plage X, dans ce cas 5.

Étape 2: branchez votre fonction et représentez-la graphiquement

Il vous suffit maintenant de brancher votre fonction pour que chaque cellule soit fonction de celle à côté d'elle. Partout où vous avez une variable non définie (x), mettez simplement B1, B2, etc., selon la cellule sur laquelle vous travaillez. Dans ce cas, écrivez "= 2 * B13 + 6 * B12-12 * B1 + 4" dans la case C1 (utilisez shift + 6 pour faire le signe de puissance dans Excel, les instructables ne font que tout exposer lorsque je l'utilise ici.) que c'est la même fonction qu'avant, sauf qu'au lieu de X, nous utilisons B1. Assurez-vous également de mettre des astérisques pour les signes de multiplication, il est logique d'écrire 2B1, mais cela ne fonctionnera pas, écrivez en 2 * B1.
Ensuite, faites simplement glisser votre boîte vers le bas, tout comme à l'étape précédente. Si vous utilisez Excel, vous pouvez également double-cliquer sur le coin inférieur droit de votre cellule, et il le fera pour vous.
Maintenant, pour le représenter graphiquement. Trouvez le bouton de graphiques sur le tableur que vous utilisez. Assurez-vous de créer un nuage de points XY. Ensuite, cliquez avec le bouton droit sur votre nouveau graphique et appuyez sur "sélectionner les données" pour que vos valeurs X (colonne B) soient vos valeurs X et vos valeurs Y (colonne C) pour vos valeurs Y. Cliquez sur OK.
Vous devriez maintenant avoir un joli tracé de vos données. Cela va probablement être une énorme collection de points, si vous faites un clic droit sur les points de données de votre graphique et sélectionnez "formater la série de données", vous pouvez le transformer en ligne à la place (assurez-vous de cocher "ligne lissée" si vous avez l'option.) Aussi, allez dans le style de marqueur et sélectionnez "pas de marqueur", ils viennent juste de vous gêner.
Voilà votre fonction, voici maintenant les trucs amusants, les dérivés et les intégrales!

Étape 3: Différenciez-le!

Le tracé du dérivé est relativement facile. Un dérivé a la forme "dy / dx", en d'autres termes, la variation de y par rapport à la variation de x. Le changement de x est facile, et il ne change jamais, c'est juste ce que nous avons écrit dans la cellule A2, qui dans ce cas est 0, 1. Le changement de y va simplement être la différence entre les cellules, ce qui n'est pas difficile à comprendre. Tapez "= (C2-C1) / $ A $ 2" pour la cellule D2, puis faites-la glisser vers le bas (ou double-cliquez en bas à droite de la cellule.) L'image devrait vous donner une bonne idée de ce qu'il faut faire. Il n'y aura rien dans la cellule D1, en différenciant nous perdons l'une des cellules, mais si votre dx est suffisamment petit, cela n'a pas d'importance. Assurez-vous de taper ceci dans D2 au lieu de D1, de cette façon lorsque vous le faites glisser vers le bas, la dernière cellule n'affiche pas un nombre ridiculement élevé.
Tracez cela sur le même graphique que le dernier, utilisez les mêmes valeurs x qu'avant. Voilà votre dérivé. Vous pouvez également faire le dérivé à la main et le tracer pour vous assurer qu'il correspond, comme il se doit.
Cela est utile si vous rencontrez des difficultés pour différencier une fonction et que vous souhaitez voir à quoi ressemble la dérivée. Une fois que vous maîtrisez la différenciation, cela devient assez facile et vous n'en aurez pas vraiment besoin. L'intégration est en revanche un peu plus difficile, il y a aussi des fonctions que vous ne saurez pas intégrer. Faisons-le avec des feuilles de calcul!

Étape 4: intégrez!

Une intégrale est essentiellement l'aire entre une courbe et l'axe des x. Il y a aussi une "zone négative" lorsque la fonction est négative. L'intégrale est l'aire nette sous une courbe. Cela devrait être assez facile à calculer.
Nous trouvons la zone en utilisant une méthode d'approximation connue sous le nom de sommes de Riemann. Fondamentalement, nous dessinons beaucoup de rectangles qui se rapprochent de la forme de notre courbe. Si nous additionnons l'aire de chaque rectangle, nous connaissons (plus ou moins) l'aire sous la courbe. L'image ci-dessous vaut mille mots.
Dans la cellule E1, tapez "= C1 * $ A $ 2" et faites-le glisser vers le bas. Ce sont les "rectangles" que nous devons additionner.
Dans la cellule F1, tapez "= SUM ($ E $ 1: E1)" et faites glisser la cellule vers le bas. Ce que vous faites ici, c'est l'addition de tous les rectangles de la cellule un à la cellule x. C'est l'intégrale indéfinie. Allez-y et représentez-le sur votre graphique. Toutes les intégrales sont liées par une constante. Si vous aviez plutôt tapé "= SUM ($ E $ 1: E1) +200" à la dernière étape, ce serait toujours l'intégrale que vous recherchez. Peu importe la constante que vous utilisez.

Étape 5: Faisons une intégrale définie

Si vous êtes dans un cours de calcul, on vous demandera probablement de faire quelques intégrales définies. Fondamentalement, vous intégrez d'une valeur x à une autre. En utilisant l'intégrale que vous venez de créer, vérifier votre réponse peut être assez facile. Par exemple, essayons l'intégrale montrée ci-dessous. C'est celui que nous venons de tracer plus tôt. Si vous savez déjà comment l'intégrer, résolvez-le à la main, vous devriez obtenir 92, 5.
Pour l'approcher avec une feuille de calcul, nous écrivons simplement (dans n'importe quelle cellule) "= F81-F31". La ligne 81 est où x = 3, la ligne 31 est où x = -2. Ce que vous faites, c'est prendre l'intégrale indéfinie à x = 3 et soustraire l'intégrale indéfinie lorsque x = -2 de celle-ci.
Sur cette feuille de calcul, la réponse que nous avons obtenue était 94, 58. Ce n'est pas une mauvaise approximation, mais cela ne vous rapporterait aucun point sur un devoir (à moins qu'on vous demande d'approximer une fonction en utilisant des sommes finies). Si vous utilisez une taille de pas de 0, 01, vous obtenez 92, 70, encore plus précis. En utilisant une taille de pas de 0, 001, vous obtenez 92, 52, ce qui est encore plus précis. Essayer des tailles de pas plus petites serait tout simplement ridicule, cela prendrait quelques centaines de milliers de cellules, cela prendrait du temps à votre ordinateur pour le comprendre.
J'ai joint la feuille de calcul de démonstration ci-dessous. Prendre plaisir.

Pièces jointes

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